Prakalkulus Contoh

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 1

Mulai dari sisi kiri.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 2

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas timbal balik ke $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)}$

Langkah 2.2

Tulis $\tan (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 3

Kalikan $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ dengan $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 4

Gabungkan.

$\frac{1 (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Langkah 5

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Langkah 6

Sederhanakan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Perluas $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Langkah 6.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Langkah 6.1.3

Terapkan sifat distributif.

Langkah 6.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.1.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.2.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.3.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.3.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

Langkah 6.2.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Langkah 6.2.1.4.7

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

Langkah 6.2.1.4.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Langkah 6.2.1.4.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Langkah 6.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Langkah 6.4

Tambahkan $\sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Langkah 6.5

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Langkah 7

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Langkah 8.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Faktorkan $1 + \sin (x)$ dari ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Langkah 8.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 8.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 8.5

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Langkah 8.6

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Langkah 8.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8.3

Kalikan $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.3.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8.3.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.8.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.9

Tambahkan $- \sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.10

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.11.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.11.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Langkah 8.12

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 9

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ adalah identitas