Prakalkulus Contoh

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Sederhanakan $3 \log_{x} (3)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2.1.1.3

Sederhanakan $4 \log_{x} (2)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

Langkah 2.1.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $54$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $27$ dari $27 \cdot 16$ .

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $27$ dari $54$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

Langkah 2.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

Langkah 2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

Langkah 2.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

Langkah 2.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

Langkah 2.1.5.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$\log_{x} (8) = 3$

Langkah 3

Tulis kembali $\log_{x} (8) = 3$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 8$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} - 8 = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Langkah 4.2.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Langkah 4.2.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Langkah 4.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Langkah 4.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 4.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.5

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Langkah 4.5.2

Selesaikan $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4.5.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 4.5.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 4.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ benar.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$