Prakalkulus Contoh

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{7 π}{12})$ adalah $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $\frac{7 π}{12}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.2

Terapkan identitas setengah sudut kosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.6

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.6.1

Kalikan $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.8.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.2.4.8.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{7 π}{12})$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{7 π}{12})$ adalah $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali $\frac{7 π}{12}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Langkah 1.5.2

Terapkan identitas setengah sudut sinus.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Langkah 1.5.3

Ubahlah $\pm$ menjadi $+$ karena sinus positif di kuadran kedua.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Langkah 1.5.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Langkah 1.5.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Langkah 1.5.4.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Langkah 1.5.4.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Langkah 1.5.4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Langkah 1.5.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Langkah 1.5.4.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Langkah 1.5.4.7

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.7.1

Kalikan $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.5.4.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Langkah 1.5.4.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Langkah 1.5.4.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 1.5.4.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 1.6

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Langkah 2.3

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Langkah 2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ sebagai $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Langkah 2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.70710678 \dots$