Prakalkulus Contoh

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Langkah 1

Tulis kembali $e^{4 x}$ sebagai eksponensiasi.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Langkah 2

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai eksponensiasi.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Langkah 3

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Langkah 4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $u^{4}$ sebagai ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u = u^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Langkah 4.2.3

Faktorkan $u^{2} - 6 u - 16$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 16$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 8, 2$

Langkah 4.2.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Langkah 4.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Langkah 4.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Langkah 4.4

Atur $u^{2} - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Atur $u^{2} - 8$ sama dengan $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Langkah 4.4.2

Selesaikan $u^{2} - 8 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$u^{2} = 8$

Langkah 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Langkah 4.4.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.3.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Langkah 4.4.2.3.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Langkah 4.4.2.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.4.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$u = 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.4.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.4.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.5

Atur $u^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Atur $u^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Langkah 4.5.2

Selesaikan $u^{2} + 2 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} = - 2$

Langkah 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 4.5.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 4.5.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 4.5.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 4.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$u = i \sqrt{2}$

Langkah 4.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$u = - i \sqrt{2}$

Langkah 4.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 4.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ benar.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 5

Substitusikan $2 \sqrt{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Langkah 6

Selesaikan $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Langkah 6.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Langkah 6.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Langkah 6.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Langkah 6.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Langkah 7

Substitusikan $- 2 \sqrt{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Langkah 8

Selesaikan $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 8.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 8.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- 2 \sqrt{2})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 8.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 9

Substitusikan $i \sqrt{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Langkah 10

Selesaikan $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Langkah 10.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Langkah 10.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Langkah 10.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Langkah 10.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Langkah 10.4

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Tulis kembali $\ln (i \sqrt{2})$ sebagai $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Langkah 10.4.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.4.3

Perluas $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke luar logaritma.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Langkah 10.4.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 10.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (2)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Langkah 10.5.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10.5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11

Substitusikan $- i \sqrt{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Langkah 12

Selesaikan $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Langkah 12.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Langkah 12.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- i \sqrt{2})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 12.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 13

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$