Prakalkulus Contoh

$e^{x} - e^{- x} = 1$

Langkah 1

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 1$

Langkah 3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 1$

Langkah 4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 4.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 4.2

Kalikan setiap suku pada $u - \frac{1}{u} = 1$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $u - \frac{1}{u} = 1$ dengan $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{u}$ ke dalam pembilangnya.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 1 u$

Langkah 4.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{2} - 1 = 1 u$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$u^{2} - 1 = u$

Langkah 4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} - 1 - u = 0$

Langkah 4.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 4.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Langkah 6

Selesaikan $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 6.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Langkah 6.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Langkah 6.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Langkah 6.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 8.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Langkah 8.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 8.4

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 9

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Bentuk Desimal:

$x = 0.48121182 \dots$