Prakalkulus Contoh

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Langkah 2

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Langkah 3

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Langkah 4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 2$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.3

Tambahkan $4$ dan $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Langkah 6.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Langkah 7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 8

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Langkah 10.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Langkah 10.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Langkah 10.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Langkah 10.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $2.76685822$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Langkah 10.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 10.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 10.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 10.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 10.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 12

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$