Prakalkulus Contoh

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Langkah 2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 8$ , dan $c = - 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3

Tambahkan $64$ dan $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.4

Tulis kembali $80$ sebagai $4^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Langkah 5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Langkah 6

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Langkah 7

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Langkah 8

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ubah sisi kanan persamaannya menjadi setara dengan desimalnya.

$\sin (x) = 8.47213595$

Langkah 8.2

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $8.47213595$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 9

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ubah sisi kanan persamaannya menjadi setara dengan desimalnya.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Langkah 9.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Evaluasi $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Langkah 9.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Langkah 9.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Langkah 9.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $3.63330488$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Langkah 9.6

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 9.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 9.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 9.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 9.7

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Tambahkan $2 π$ ke $- 0.49171223$ untuk menentukan sudut positif.

$- 0.49171223 + 2 π$

Langkah 9.7.2

Kurangi $0.49171223$ dengan $2 π$ .

$5.79147307$

Langkah 9.7.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = 5.79147307$

Langkah 9.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$