Prakalkulus Contoh

$3 - 3 \sin (x) = 6 \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Kurangkan $6 \cos^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 - 3 \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 2

Ganti $- 6 \cos^{2} (x)$ dengan $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 - 3 \sin (x) - 6 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 - 3 \sin (x) - 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$3 - 3 \sin (x) - 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$3 - 3 \sin (x) - 6 + 6 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 4

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$- 3 \sin (x) - 3 + 6 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Langkah 6

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$6 {(u)}^{2} - 3 u - 3 = 0$

Langkah 7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $3$ dari $6 u^{2} - 3 u - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $3$ dari $6 u^{2}$ .

$3 (2 u^{2}) - 3 u - 3 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 3 u$ .

$3 (2 u^{2}) + 3 (- u) - 3 = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$3 (2 u^{2}) + 3 (- u) + 3 (- 1) = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (2 u^{2}) + 3 (- u)$ .

$3 (2 u^{2} - u) + 3 (- 1) = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (2 u^{2} - u) + 3 (- 1)$ .

$3 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$3 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$3 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Langkah 7.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 7.2.1.1.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$3 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 7.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$3 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 7.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$3 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Langkah 7.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$3 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 9

Atur $2 u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $2 u + 1$ sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $2 u + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 1$

Langkah 9.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{1}{2}$

Langkah 10

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 10.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ benar.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 12

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 14.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 14.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 14.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 14.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 14.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 14.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (1)$

Langkah 15.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 15.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 15.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 15.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 15.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 15.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 15.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 15.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 15.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 15.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 15.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 15.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 17

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$