Prakalkulus Contoh

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 1

Ganti $- 2 \cos^{2} (x)$ dengan $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 3

Susun ulang polinomial tersebut.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Langkah 5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 1$ , dan $c = - 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.1.3

Tambahkan $1$ dan $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Langkah 8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 9

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 10

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Langkah 11

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Langkah 11.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Langkah 11.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Langkah 11.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Langkah 11.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $2.24568517$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2.24568517$

Langkah 11.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 11.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 11.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 11.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 11.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$