Prakalkulus Contoh

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 1

Ganti $\csc^{2} (u)$ dengan $\cot^{2} (u) + 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 2

Susun ulang polinomial tersebut.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Pindahkan $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.2

Susun kembali suku-suku.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1.1

Tulis kembali $\csc (u)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.4

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1.4.1

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.4.2

Susun kembali $\cos (u)$ dan $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.4.3

Tulis kembali $- \cos (u) \sec (u)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.2.2

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ sebagai ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.4.2.3

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (u)}$ ke $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Langkah 3.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Langkah 4

Karena eksponennya sama, bilangan pokok dari eksponen pada kedua sisi persamaan harus sama.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Langkah 5

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan nilai mutlak sebagai empat persamaan tanpa bar nilai mutlak.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Langkah 5.2

Setelah disederhanakan, hanya ada dua persamaan unik yang harus diselesaikan.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Langkah 5.3

Selesaikan $\cot (u) = \cot (u)$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Agar dua fungsinya sama, argumen dari masing-masing harus sama.

$u = u$

Langkah 5.3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $u$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kurangkan $u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u - u = 0$

Langkah 5.3.2.2

Kurangi $u$ dengan $u$ .

$0 = 0$

Langkah 5.3.3

Karena $0 = 0$ , persamaan tersebut selalu benar.

Semua bilangan riil

Langkah 5.4

Selesaikan $\cot (u) = - \cot (u)$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $\cot (u)$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Tambahkan $\cot (u)$ ke kedua sisi persamaan.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Langkah 5.4.1.2

Tambahkan $\cot (u)$ dan $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $2 \cot (u) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cot (u) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $\cot (u)$ dengan $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Langkah 5.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\cot (u) = 0$

Langkah 5.4.3

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $u$ dari dalam kotangen.

$u = arccot (0)$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Nilai eksak dari $arccot (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Langkah 5.4.5

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$u = π + \frac{π}{2}$

Langkah 5.4.6

Sederhanakan $π + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.6.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.4.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.6.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.4.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 5.4.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.6.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 5.4.6.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.4.7

Tentukan periode dari $\cot (u)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 5.4.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 5.4.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 5.4.7.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.4.8

Periode dari fungsi $\cot (u)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$