Prakalkulus Contoh

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung $X$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $X$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

Langkah 1.2

Kurangi $X$ dengan $8 X$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

Langkah 2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

Langkah 3

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

Langkah 4

Faktorkan $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Langkah 4.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- 2$ ke dalam polinomialnya.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.4

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.5

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $- 24$ dan $36$ .

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

Langkah 4.3.7

Kalikan $7$ dengan $- 2$ .

$12 - 14 + 2$

Langkah 4.3.8

Kurangi $14$ dengan $12$ .

$- 2 + 2$

Langkah 4.3.9

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 4.4

Karena $- 2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $X + 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

Langkah 4.5

Bagilah $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ dengan $X + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

Langkah 4.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 X^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $X$ .

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

Langkah 4.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Langkah 4.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 X^{3} + 6 X^{2}$

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Langkah 4.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

Langkah 4.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Langkah 4.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 X^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Langkah 4.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

Langkah 4.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 X^{2} + 6 X$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

Langkah 4.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

Langkah 4.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Langkah 4.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $X$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Langkah 4.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

Langkah 4.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $X + 2$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

Langkah 4.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

Langkah 4.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

Langkah 4.6

Tulis $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ sebagai himpunan faktor.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Langkah 6

Atur $X + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $X + 2$ sama dengan $0$ .

$X + 2 = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$X = - 2$

Langkah 7

Atur $3 X^{2} + 3 X + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $3 X^{2} + 3 X + 1$ sama dengan $0$ .

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ untuk $X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 3$ , $b = 3$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $X$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.3

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ benar.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$