Prakalkulus Contoh

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

Langkah 1

Tambahkan $e^{- x}$ ke kedua sisi persamaan.

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

Langkah 2

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

Langkah 3

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$7 u + u^{- 1} = 6$

Langkah 4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

Langkah 5

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $7 u + \frac{1}{u} = 6$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $7 u + \frac{1}{u} = 6$ dengan $u$ .

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $u$ .

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $6 u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Langkah 5.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 7$ , $b = - 6$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $7$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.2.2

Kalikan $- 28$ dengan $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.3

Kurangi $28$ dengan $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

Langkah 5.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

Langkah 5.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

Langkah 7.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Langkah 7.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Langkah 7.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Langkah 7.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Langkah 8

Substitusikan $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Langkah 9.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Langkah 9.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Langkah 9.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Langkah 9.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Langkah 10

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Bentuk Desimal:

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$