Prakalkulus Contoh

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2

Sederhanakan $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2.1.2.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2.2

Perluas $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $18$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $18$ dengan $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Langkah 2.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Langkah 2.3.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $7$ dengan $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Langkah 2.3.2

Kurangi $14 x^{2}$ dengan $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Langkah 3

Kurangkan $240$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Langkah 4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $2$ dari $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $2$ dari $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Langkah 4.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Langkah 4.1.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Langkah 4.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Langkah 4.2

Susun kembali suku-suku.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 4.3.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Langkah 4.3.1.3

Substitusikan $8$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $8$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Substitusikan $8$ ke dalam polinomialnya.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.4

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.6

Tambahkan $- 512$ dan $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Langkah 4.3.1.3.7

Kalikan $63$ dengan $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Langkah 4.3.1.3.8

Tambahkan $- 384$ dan $504$ .

$120 - 120$

Langkah 4.3.1.3.9

Kurangi $120$ dengan $120$ .

$0$

Langkah 4.3.1.4

Karena $8$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 8$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Langkah 4.3.1.5

Bagilah $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ dengan $x - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Langkah 4.3.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Langkah 4.3.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Langkah 4.3.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{3} + 8 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Langkah 4.3.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Langkah 4.3.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Langkah 4.3.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Langkah 4.3.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Langkah 4.3.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 x^{2} + 48 x$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Langkah 4.3.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Langkah 4.3.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Langkah 4.3.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Langkah 4.3.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Langkah 4.3.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $15 x - 120$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Langkah 4.3.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Langkah 4.3.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Langkah 4.3.1.6

Tulis $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ sebagai himpunan faktor.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Langkah 4.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Langkah 6

Atur $x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x - 8$ sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 7

Atur $- x^{2} - 6 x + 15$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $- x^{2} - 6 x + 15$ sama dengan $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = - 1$ , $b = - 6$ , dan $c = 15$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.3

Tambahkan $36$ dan $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.4

Tulis kembali $96$ sebagai $4^{2} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Langkah 7.2.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Langkah 7.2.3.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Langkah 7.2.3.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ sebagai $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ benar.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Bentuk Desimal:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$