Prakalkulus Contoh

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Langkah 1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Langkah 2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Langkah 3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Langkah 5

Kalikan $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ dengan $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Langkah 6

Tulis kembali $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan definisi logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b$ $\neq$ $1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 7

Kalikan silang untuk menghilangkan pecahan.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Langkah 8

Sederhanakan $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Perluas $(x + 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Langkah 8.1.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Langkah 8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Langkah 8.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot - 4$ dan $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Langkah 8.2.1.2

Tambahkan $- 4 x$ dan $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Langkah 8.2.1.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan $10$ dengan $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangkan $10 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Langkah 9.2

Kurangi $10 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Langkah 10

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Langkah 10.2

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Langkah 10.3

Susun kembali $- {(3 x)}^{2}$ dan $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Langkah 10.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Langkah 10.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Langkah 11

Sederhanakan $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Perluas $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Langkah 11.1.2

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Langkah 11.1.3

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Langkah 11.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $4 (- 3 x)$ dan $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Langkah 11.2.1.2

Tambahkan $- 3 \cdot 4 x$ dan $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Langkah 11.2.1.3

Tambahkan $4 \cdot 4$ dan $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Langkah 11.2.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Langkah 11.2.2.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.3.1

Pindahkan $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Langkah 11.2.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Langkah 11.2.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Langkah 12

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Langkah 12.2

Kurangi $16$ dengan $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Langkah 13

Bagi setiap suku pada $- 9 x^{2} = - 176$ dengan $- 9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Bagilah setiap suku di $- 9 x^{2} = - 176$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Langkah 13.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Langkah 13.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Langkah 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Langkah 15

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{176}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Langkah 15.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tulis kembali $176$ sebagai $4^{2} \cdot 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Faktorkan $16$ dari $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Langkah 15.2.1.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Langkah 15.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Langkah 15.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 15.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Langkah 16

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Langkah 16.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Langkah 16.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Langkah 17

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ benar.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Langkah 18

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bentuk Desimal:

$x = 4.42216638 \dots$