Prakalkulus Contoh

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Perluas $(2 x + 5) (x - 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Tambahkan $- 14 x$ dan $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Langkah 2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Faktorkan $- 9$ dari $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3.1.2

Tulis kembali $- 9$ sebagai $5$ ditambah $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Langkah 2.1.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Langkah 3

Tulis kembali $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan definisi logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b$ $\neq$ $1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Langkah 4

Kalikan silang untuk menghilangkan pecahan.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Langkah 5

Sederhanakan $e^{0} (x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Langkah 6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Perluas $(2 x + 5) (x - 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 14 x$ dan $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Langkah 6.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Langkah 7

Tambahkan $35$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} - 9 x = 35$

Langkah 8

Kurangkan $35$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Langkah 9

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 9$ , dan $c = - 35$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Langkah 11.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Langkah 11.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Langkah 11.1.3

Tambahkan $81$ dan $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Langkah 12

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Langkah 13

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ benar.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = 11.93303437 \dots$