Prakalkulus Contoh

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Langkah 4.2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Langkah 4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Langkah 4.4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 4.4.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 4.4.2

Kalikan setiap suku pada $u + \frac{1}{u} = 2 y$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $u + \frac{1}{u} = 2 y$ dengan $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Langkah 4.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Langkah 4.4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Langkah 4.4.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Langkah 4.4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kurangkan $2 y u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Langkah 4.4.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.4.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2 y$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.1

Tulis kembali $4 \cdot 1 \cdot 1$ sebagai ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = - 2 y$ dan $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.6

Tulis kembali $4 (- y + 1) (- y - 1)$ sebagai $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.4.1.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.6.3

Tambahkan tanda kurung.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Langkah 4.4.3.4.3

Sederhanakan $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Langkah 4.4.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Langkah 4.5

Substitusikan $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Langkah 4.6

Selesaikan $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Langkah 4.6.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.6.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.6.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.6.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.7

Substitusikan $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Langkah 4.8

Selesaikan $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Langkah 4.8.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.8.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.8.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.8.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Langkah 4.9

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$