Prakalkulus Contoh

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan $3 (1 - \cos (- θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $\cos (- θ)$ adalah sebuah fungsi genap, tulis kembali $\cos (- θ)$ sebagai $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Langkah 1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Langkah 1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Langkah 2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Langkah 2.2

Tambahkan $3 \cos (θ)$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 3

Ganti $2 \sin^{2} (θ)$ dengan $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 5

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Langkah 6

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 7

Substitusikan $u$ untuk $\cos (θ)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Langkah 8.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Langkah 8.1.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 8.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 8.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1$ ditambah $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Langkah 8.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Langkah 8.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Langkah 8.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Langkah 8.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 8.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 10

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 11

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 11.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 12

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Langkah 13

Substitusikan $\cos (θ)$ untuk $u$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Langkah 14

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Langkah 15

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 15.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Langkah 15.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 15.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 15.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 15.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 15.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 15.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Langkah 15.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 15.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 15.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 15.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 15.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (θ) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (1)$

Langkah 16.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 16.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - 0$

Langkah 16.4

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$θ = 2 π$

Langkah 16.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 16.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 16.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 16.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 16.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 17

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 18

Gabungkan $2 π n$ dan $2 π + 2 π n$ menjadi $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$