Prakalkulus Contoh

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$

Langkah 1

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 2

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 2$ dan $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 4.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 4$

Langkah 5

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Langkah 6

Karena tangen balikan $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{2 π}{3}$ dan $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$