Prakalkulus Contoh

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$

Langkah 1

Faktorkan $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 16, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Langkah 1.3

Substitusikan $0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0.5$ ke dalam polinomialnya.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $0.125$ .

$0.25 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.4

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$0.25 + 15 \cdot 0.25 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.5

Kalikan $15$ dengan $0.25$ .

$0.25 + 3.75 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $0.25$ dan $3.75$ .

$4 + 24 \cdot 0.5 - 16$

Langkah 1.3.7

Kalikan $24$ dengan $0.5$ .

$4 + 12 - 16$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $4$ dan $12$ .

$16 - 16$

Langkah 1.3.9

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16}{2 x - 1}$

Langkah 1.5

Bagilah $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$24 x$

$16$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $32 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							+	$32 x$	-	$16$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $32 x - 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 8 x + 16$

Langkah 1.6

Tulis $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 16)$

Langkah 2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2})$

Langkah 2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Langkah 2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

Langkah 2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$(2 x - 1) {(x + 4)}^{2}$