Prakalkulus Contoh

$x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$

Langkah 1

Faktorkan $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

Langkah 1.3

Substitusikan $4$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $4$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $4$ ke dalam polinomialnya.

$4^{3} + 8 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 - 144$

Langkah 1.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$64 + 8 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 - 144$

Langkah 1.3.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$64 + 8 \cdot 16 - 12 \cdot 4 - 144$

Langkah 1.3.4

Kalikan $8$ dengan $16$ .

$64 + 128 - 12 \cdot 4 - 144$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $64$ dan $128$ .

$192 - 12 \cdot 4 - 144$

Langkah 1.3.6

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$192 - 48 - 144$

Langkah 1.3.7

Kurangi $48$ dengan $192$ .

$144 - 144$

Langkah 1.3.8

Kurangi $144$ dengan $144$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $4$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 4$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144}{x - 4}$

Langkah 1.5

Bagilah $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ dengan $x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$144$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $12 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $12 x^{2} - 48 x$

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $36 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							+	$36 x$	-	$144$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $36 x - 144$

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							-	$36 x$	+	$144$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$36$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$12 x$	-	$144$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							+	$36 x$	-	$144$
							-	$36 x$	+	$144$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 12 x + 36$

Langkah 1.6

Tulis $x^{3} + 8 x^{2} - 12 x - 144$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 4) (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$(x - 4) (x^{2} + 12 x + 6^{2})$

Langkah 2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Langkah 2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(x - 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2})$

Langkah 2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 6$ .

$(x - 4) {(x + 6)}^{2}$