Prakalkulus Contoh

$x^{3} + x^{2} - 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Langkah 3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{3} + 2^{2} - 12$

Langkah 3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + 2^{2} - 12$

Langkah 3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 + 4 - 12$

Langkah 3.4

Tambahkan $8$ dan $4$ .

$12 - 12$

Langkah 3.5

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 12}{x - 2}$

Langkah 5

Bagilah $x^{3} + x^{2} - 12$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Langkah 5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Langkah 5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Langkah 5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Langkah 5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Langkah 5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x - 12$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Langkah 5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Langkah 5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 3 x + 6$

Langkah 6

Tulis $x^{3} + x^{2} - 12$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{2} + 3 x + 6)$