Prakalkulus Contoh

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Langkah 1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\csc^{2} (x) = 1$

Langkah 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Langkah 3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Langkah 4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\csc (x) = 1$

Langkah 4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\csc (x) = - 1$

Langkah 4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\csc (x) = 1, - 1$

Langkah 5

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Langkah 6

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.3

Fungsi kosekan positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 6.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.6

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 7.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 7.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 7.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 7.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 7.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 7.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 7.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 7.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Langkah 10.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{π}{2}$

Langkah 10.1.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 10.2

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Langkah 10.2.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 10.2.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Langkah 10.2.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Langkah 10.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Langkah 10.2.2.4.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 10.2.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$