Prakalkulus Contoh

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Langkah 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{81}{81}$ .

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Langkah 1.2

Gabungkan.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

Langkah 2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 3

Sederhanakan dengan cara membatalkan .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{81}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

Langkah 3.3

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2}{9}$ .

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.3.2

Faktorkan $9$ dari $81$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.5

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.6

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $27$ dari $81$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.7

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

Langkah 4.8

Faktorkan $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Langkah 4.8.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Langkah 4.8.3

Substitusikan $0.\overline{3}$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.\overline{3}$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Substitusikan $0.\overline{3}$ ke dalam polinomialnya.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.2

Naikkan $0.\overline{3}$ menjadi pangkat $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.3

Kalikan $27$ dengan $0.\overline{037}$ .

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.4

Naikkan $0.\overline{3}$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.5

Kalikan $- 18$ dengan $0.\overline{1}$ .

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.6

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Langkah 4.8.3.7

Kalikan $6$ dengan $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 2 - 1$

Langkah 4.8.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$1 - 1$

Langkah 4.8.3.9

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 4.8.4

Karena $0.\overline{3}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $3 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

Langkah 4.8.5

Bagilah $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ dengan $3 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

Langkah 4.8.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $27 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Langkah 4.8.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Langkah 4.8.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $27 x^{3} - 9 x^{2}$

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Langkah 4.8.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Langkah 4.8.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 4.8.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 9 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 4.8.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 4.8.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 9 x^{2} + 3 x$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 4.8.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

Langkah 4.8.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Langkah 4.8.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Langkah 4.8.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Langkah 4.8.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x - 1$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Langkah 4.8.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Langkah 4.8.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

Langkah 4.8.6

Tulis $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ sebagai himpunan faktor.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

Langkah 5

Faktorkan $27$ dari $81 x - 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $27$ dari $81 x$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

Langkah 5.2

Faktorkan $27$ dari $- 27$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

Langkah 5.3

Faktorkan $27$ dari $27 (3 x) + 27 (- 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Langkah 6

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

Langkah 7

Pisahkan pecahan $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 8

Pisahkan pecahan $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 9

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $9$ dari $9 x^{2}$ .

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 10

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Langkah 10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

Langkah 11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$