Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Langkah 1

Atur $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ sama dengan $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.2.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan $u^{2} - 3 u - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 4, 1$

Langkah 2.1.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.8

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.8.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.9

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.1.9.2

Faktorkan $3$ dari $9 x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Langkah 2.1.9.3

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Langkah 2.1.9.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Langkah 2.1.9.5

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Langkah 2.1.10

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Langkah 2.1.11

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Langkah 2.1.12

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Langkah 2.1.12.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Langkah 2.1.12.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Langkah 2.1.12.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Langkah 2.1.12.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Langkah 2.1.12.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Langkah 2.1.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Langkah 2.1.14

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Langkah 2.1.15

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.15.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.15.1.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Langkah 2.1.15.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 2.1.15.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 2.1.16

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 2.1.16.2

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.16.3

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.17

Terapkan sifat distributif.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.18

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.18.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.18.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.18.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.18.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.19

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.1.20

Terapkan sifat distributif.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Langkah 2.1.21

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Langkah 2.1.22

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Langkah 2.1.23

Susun kembali suku-suku.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Langkah 2.1.24

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Tulis kembali $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Langkah 2.1.24.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Langkah 2.1.24.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Langkah 2.1.24.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.5

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.6

Atur $x^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $x^{2} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 2.6.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 2.6.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 2.6.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 2.6.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ benar.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Langkah 3