Prakalkulus Contoh

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 2$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.2

Kalikan $9$ dengan $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.5

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 58$ dengan $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Langkah 4.1.7

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $144$ dan $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Langkah 4.2.2

Kurangi $232$ dengan $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Langkah 4.2.3

Kurangi $8$ dengan $- 16$ .

$- 24 + 24$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(9)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(9)$ dengan pembagi $(- 2)$ dan tempatkan hasil $(- 18)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 27)$ dengan pembagi $(- 2)$ dan tempatkan hasil $(54)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(- 2)$ dan tempatkan hasil $(8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(12)$ dengan pembagi $(- 2)$ dan tempatkan hasil $(- 24)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Langkah 9

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Langkah 10

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Langkah 11

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3 x$ dan $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Langkah 11.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Langkah 12

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.2

Faktorkan $- x$ dari $- 9 x^{3} + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.2.2

Faktorkan $- x$ dari $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.3

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3 x$ dan $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.6

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Langkah 12.7

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Langkah 12.8

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.8.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.8.1.1

Faktorkan $- 58$ dari $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Langkah 12.8.1.2

Tulis kembali $- 58$ sebagai $- 4$ ditambah $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Langkah 12.8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Langkah 12.8.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.8.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Langkah 12.8.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Langkah 12.8.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Langkah 12.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.10

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.11

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.12

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3 x$ dan $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.13

Faktorkan $(3 x + 2) (3 x - 2)$ dari $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.13.1

Faktorkan $(3 x + 2) (3 x - 2)$ dari $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.13.2

Faktorkan $(3 x + 2) (3 x - 2)$ dari $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.14

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Langkah 12.15

Faktorkan $- u + u^{2} - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.15.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 6$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 3, 2$

Langkah 12.15.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Langkah 12.16

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.16.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Langkah 12.16.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Langkah 13

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 14

Atur $3 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $3 x + 2$ sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Langkah 14.2

Selesaikan $3 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 2$

Langkah 14.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 14.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 14.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Langkah 14.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2}{3}$

Langkah 15

Atur $3 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $3 x - 2$ sama dengan $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Langkah 15.2

Selesaikan $3 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 2$

Langkah 15.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 15.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 15.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 16

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 16.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 17

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 17.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 18

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ benar.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Langkah 19