Prakalkulus Contoh

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = \frac{5}{2}$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.6

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 7 (\frac{5}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Langkah 4.1.7.2

Kalikan $- 7$ dengan $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Langkah 4.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $35$ dengan $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah $40$ dengan $2$ .

$- 20 + 20$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 20$ dan $20$ .

$0$

Langkah 5

Karena $\frac{5}{2}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - \frac{5}{2}$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(6)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(6)$ dengan pembagi $(\frac{5}{2})$ dan tempatkan hasil $(15)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(\frac{5}{2})$ dan tempatkan hasil $(20)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Langkah 6.7

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$(6) x + 8$

Langkah 6.8

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$6 x + 8$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $6 x + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Langkah 8

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $- 7$ dari $- 7 x$ .

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali $- 7$ sebagai $8$ ditambah $- 15$

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Langkah 8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Langkah 8.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Langkah 8.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Langkah 10

Atur $3 x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $3 x + 4$ sama dengan $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $3 x + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 4$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 4$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 4$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Langkah 10.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{4}{3}$

Langkah 11

Atur $2 x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $2 x - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 5$

Langkah 11.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 11.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 12

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ benar.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Langkah 13