Prakalkulus Contoh

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$4 {(3)}^{4} - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$4 \cdot 81 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $81$ .

$324 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$324 - 22 \cdot 27 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 22$ dengan $27$ .

$324 - 594 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$324 - 594 + 38 \cdot 9 - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.6

Kalikan $38$ dengan $9$ .

$324 - 594 + 342 - 44 \cdot 3 + 60$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 44$ dengan $3$ .

$324 - 594 + 342 - 132 + 60$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $594$ dengan $324$ .

$- 270 + 342 - 132 + 60$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 270$ dan $342$ .

$72 - 132 + 60$

Langkah 4.2.3

Kurangi $132$ dengan $72$ .

$- 60 + 60$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 60$ dan $60$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60}{x - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(4)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

	$4$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 22)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$	$- 10$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 10)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 30)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(38)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$	$8$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(24)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 44)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 20)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 60)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(60)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (8) x - 20$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 10 x^{2} + 8 x - 20)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $- 10 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 8 x - 20)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) - 20)$

Langkah 7.4

Faktorkan $2$ dari $- 20$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Langkah 7.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Langkah 7.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10))$

Langkah 7.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 10))$

Langkah 8

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 10))$

Langkah 8.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)))$

Langkah 9

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 5$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 5) (x^{2} + 2)))$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 3) (2 (2 x - 5) (x^{2} + 2))$

Langkah 10

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Langkah 10.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Langkah 10.1.3

Faktorkan $2$ dari $38 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) - 44 x + 60 = 0$

Langkah 10.1.4

Faktorkan $2$ dari $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 60 = 0$

Langkah 10.1.5

Faktorkan $2$ dari $60$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Langkah 10.1.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Langkah 10.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Langkah 10.1.8

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30) = 0$

Langkah 10.1.9

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x + 30) = 0$

Langkah 10.2

Kelompokkan kembali suku-suku.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Langkah 10.3

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Langkah 10.3.2

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Langkah 10.3.3

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Langkah 10.4

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Langkah 10.5

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 u + 30) = 0$

Langkah 10.6

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 30 = 60$ dan yang jumlahnya adalah $b = 19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1.1

Faktorkan $19$ dari $19 u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 (u) + 30) = 0$

Langkah 10.6.1.2

Tulis kembali $19$ sebagai $4$ ditambah $15$

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 15) u + 30) = 0$

Langkah 10.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Langkah 10.6.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Langkah 10.6.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 15 (u + 2)) = 0$

Langkah 10.6.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $u + 2$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 15)) = 0$

Langkah 10.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Langkah 10.8

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.8.1

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Langkah 10.8.2

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 15)) = 0$

Langkah 10.9

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 u + 2 u^{2} + 15)) = 0$

Langkah 10.10

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.1

Susun kembali suku-suku.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Langkah 10.10.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.2.1

Faktorkan $- 11$ dari $- 11 u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Langkah 10.10.2.2

Tulis kembali $- 11$ sebagai $- 5$ ditambah $- 6$

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15)) = 0$

Langkah 10.10.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15)) = 0$

Langkah 10.10.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.10.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 5 u) - 6 u + 15)) = 0$

Langkah 10.10.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 ((x^{2} + 2) (u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5))) = 0$

Langkah 10.10.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 5$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u - 5) (u - 3))) = 0$

Langkah 10.11

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.11.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.11.1.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Langkah 10.11.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Langkah 10.11.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Langkah 11

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 12

Atur $x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 2$

Langkah 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 12.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 12.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 13

Atur $2 x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $2 x - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 5$

Langkah 13.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 13.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 13.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 14

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 15

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ benar.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 3$

Langkah 16