Prakalkulus Contoh

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 2$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 22$ dengan $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.6

Kalikan $36$ dengan $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 44$ dengan $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $176$ dengan $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 112$ dan $144$ .

$32 - 88 + 56$

Langkah 4.2.3

Kurangi $88$ dengan $32$ .

$- 56 + 56$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 56$ dan $56$ .

$0$

Langkah 5

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(4)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 14)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 28)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(16)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 28)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 56)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $- 14 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Langkah 7.4

Faktorkan $2$ dari $- 28$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Langkah 7.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Langkah 7.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Langkah 7.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Langkah 8

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Langkah 8.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Langkah 9

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Langkah 10

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Langkah 10.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Langkah 10.1.3

Faktorkan $2$ dari $36 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Langkah 10.1.4

Faktorkan $2$ dari $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Langkah 10.1.5

Faktorkan $2$ dari $56$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Langkah 10.1.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Langkah 10.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Langkah 10.1.8

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Langkah 10.1.9

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Langkah 10.2

Kelompokkan kembali suku-suku.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Langkah 10.3

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Langkah 10.3.2

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Langkah 10.3.3

Faktorkan $- 11 x$ dari $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Langkah 10.4

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Langkah 10.4.2

Faktorkan $2$ dari $18 x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Langkah 10.4.3

Faktorkan $2$ dari $28$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Langkah 10.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Langkah 10.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Langkah 10.5

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Langkah 10.6

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Langkah 10.7

Faktorkan $u^{2} + 9 u + 14$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $14$ dan jumlahnya $9$ .

$2, 7$

Langkah 10.7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Langkah 10.8

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.8.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Langkah 10.8.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Langkah 10.9

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.9.1

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Langkah 10.9.2

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Langkah 10.9.3

Faktorkan $x^{2} + 2$ dari $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Langkah 10.10

Terapkan sifat distributif.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Langkah 10.11

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Langkah 10.12

Susun kembali suku-suku.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Langkah 10.13

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.13.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.13.1.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.13.1.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.13.1.1.1.1

Faktorkan $- 11$ dari $- 11 x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Langkah 10.13.1.1.1.2

Tulis kembali $- 11$ sebagai $- 4$ ditambah $- 7$

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Langkah 10.13.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Langkah 10.13.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.13.1.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Langkah 10.13.1.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Langkah 10.13.1.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Langkah 10.13.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Langkah 10.13.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Langkah 11

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Langkah 12

Atur $x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 2$

Langkah 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 12.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 12.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{2}$

Langkah 12.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 13

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 13.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 14

Atur $2 x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $2 x - 7$ sama dengan $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Langkah 14.2

Selesaikan $2 x - 7 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 7$

Langkah 14.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 7$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 7$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Langkah 14.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Langkah 14.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Langkah 15

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ benar.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Langkah 16