Prakalkulus Contoh

$2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 1 \cdot 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 1 - 19 \cdot 1 + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 19$ dengan $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 (1) + 9$

Langkah 4.1.7

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 + 9$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1 - 19 + 9 + 9$

Langkah 4.2.2

Kurangi $19$ dengan $1$ .

$- 18 + 9 + 9$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 18$ dan $9$ .

$- 9 + 9$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 9$ dan $9$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 19)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 18$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 18)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 18)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 9)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 9)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 18) x - 9$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{3} + x^{2} - 18 x - 9$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 18 x - 9$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 9)$

Langkah 9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 3^{2})$

Langkah 10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 3) (x - 3))$

Langkah 10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

Langkah 11

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3} + 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.2.2

Faktorkan $- x$ dari $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.5

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Langkah 11.6

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Langkah 11.7

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1.1

Faktorkan $- 19$ dari $- 19 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Langkah 11.7.1.2

Tulis kembali $- 19$ sebagai $- 1$ ditambah $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 18) u + 9 = 0$

Langkah 11.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Langkah 11.7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Langkah 11.7.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 1) - 9 (2 u - 1) = 0$

Langkah 11.7.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 1) (u - 9) = 0$

Langkah 11.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Langkah 11.9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Langkah 11.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.10.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Langkah 11.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Langkah 11.11

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.11.1

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Langkah 11.11.2

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $(2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 11.11.3

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 11.12

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Langkah 11.13

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1

Susun kembali suku-suku.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 11.13.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Langkah 11.13.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Langkah 11.13.2.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.13.2.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.13.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.13.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 3) (x - 3) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Langkah 11.13.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 11.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.14.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 11.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 13

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 14

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 15

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 15.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 15.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 15.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 15.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 15.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 16

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 16.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 17

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 3, 3, - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 18