Prakalkulus Contoh

$2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hilangkan tanda kurung.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 4.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Langkah 4.2.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Langkah 4.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $- 2$ dan $5$ .

$3 - 1 - 2$

Langkah 4.3.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$2 - 2$

Langkah 4.3.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(5)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$	$3$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(3)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(1)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$	$- 2$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Langkah 7

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 3 (x) - 2$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2$

Langkah 7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2$

Langkah 7.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)$

Langkah 7.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 2)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 8.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Langkah 8.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $5$ .

$3 - 1 - 2$

Langkah 8.1.3.7

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$2 - 2$

Langkah 8.1.3.8

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 8.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Langkah 8.1.5

Bagilah $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 8.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Langkah 8.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 8.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 8.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Langkah 8.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Langkah 8.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Langkah 8.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 8.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{2} + 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 8.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Langkah 8.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 8.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 8.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 8.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 8.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Langkah 8.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Langkah 8.1.6

Tulis $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2) = 0$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2) = 0$

Langkah 8.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2) = 0$

Langkah 8.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2) = 0$

Langkah 8.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)) = 0$

Langkah 8.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 8.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 10

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 11

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 11.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 12

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 12.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 13

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 14