Prakalkulus Contoh

$x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(- 1)}^{4} - 15 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 24$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$1 - 15 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 24$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 15 \cdot 1 + 10 (- 1) + 24$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 15$ dengan $1$ .

$1 - 15 + 10 (- 1) + 24$

Langkah 4.1.4

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$1 - 15 - 10 + 24$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $15$ dengan $1$ .

$- 14 - 10 + 24$

Langkah 4.2.2

Kurangi $10$ dengan $- 14$ .

$- 24 + 24$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$
	$1$	$- 1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$	$- 14$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 14)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(14)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(10)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$
	$1$	$- 1$	$- 14$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(24)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 24)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(24)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$	$- 24$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$	$- 24$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 14) x + 24$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$2^{3} - 2^{2} - 14 \cdot 2 + 24$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 - 2^{2} - 14 \cdot 2 + 24$

Langkah 7.1.1.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 24$

Langkah 7.1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$8 - 4 - 14 \cdot 2 + 24$

Langkah 7.1.1.3.5

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$4 - 14 \cdot 2 + 24$

Langkah 7.1.1.3.6

Kalikan $- 14$ dengan $2$ .

$4 - 28 + 24$

Langkah 7.1.1.3.7

Kurangi $28$ dengan $4$ .

$- 24 + 24$

Langkah 7.1.1.3.8

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 14 x + 24}{x - 2}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$24$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 12 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 12 x + 24$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + x - 12$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $x^{2} + x - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x^{2} + x - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $1$ .

$- 3, 4$

Langkah 7.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 7.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ benar.

$x = 2, 3, - 4$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x + 1) (x - 2) (x - 3) (x + 4)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$ .

$x = - 1, 2, 3, - 4$

Langkah 10