Prakalkulus Contoh

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 14$ dengan $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 36$ dengan $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Langkah 4.2.2

Kurangi $14$ dengan $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Langkah 4.2.3

Kurangi $36$ dengan $- 9$ .

$- 45 + 45$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 45$ dan $45$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 9)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 9)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 45)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 45)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Langkah 9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Langkah 10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Langkah 10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Langkah 11

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 36 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.2.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.2.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.5

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Langkah 11.6

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Langkah 11.7

Faktorkan $u^{2} - 14 u + 45$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $45$ dan jumlahnya $- 14$ .

$- 9, - 5$

Langkah 11.7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Langkah 11.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.10

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.11

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.11.1

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.11.2

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.12

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Langkah 11.13

Faktorkan $4 u + u^{2} - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $4$ .

$- 1, 5$

Langkah 11.13.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Langkah 11.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.14.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Langkah 11.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Langkah 13

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 14

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 15

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 15.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 16

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 16.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 17

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ benar.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Langkah 18