Prakalkulus Contoh

$x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 \cdot 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 + 7 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 + 7 - 7 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 (1) - 12$

Langkah 4.1.8

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 - 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 + 7 - 7 + 12 - 12$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $7$ .

$7 - 7 + 12 - 12$

Langkah 4.2.3

Kurangi $7$ dengan $7$ .

$0 + 12 - 12$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$12 - 12$

Langkah 4.2.5

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$7$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(7)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(7)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Langkah 6.11

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(12)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Langkah 6.12

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$	$0$

Langkah 6.13

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 0 x + 12$

Langkah 6.14

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{4} + 7 x^{2} + 12$

Langkah 7

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12$

Langkah 8

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} + 7 u + 12$

Langkah 9

Faktorkan $u^{2} + 7 u + 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $12$ dan jumlahnya $7$ .

$3, 4$

Langkah 9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) + (u + 3) (u + 4)$

$(x - 1) (u + 3) (u + 4)$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$

Langkah 11

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{5} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan $x$ dari $x^{5} + 7 x^{3} + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.2.2

Faktorkan $x$ dari $7 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.2.3

Faktorkan $x$ dari $12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x (7 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.2.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 7 u + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.5

Faktorkan $u^{2} + 7 u + 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $12$ dan jumlahnya $7$ .

$3, 4$

Langkah 11.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x ((u + 3) (u + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.7

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 11.8

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Langkah 11.9

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.9.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.9.1.1

Faktorkan $- 7$ dari $- 7 u$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Langkah 11.9.1.2

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 3$ ditambah $- 4$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 3 - 4) u - 12 = 0$

Langkah 11.9.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Langkah 11.9.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.9.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Langkah 11.9.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 3) + 4 (- u - 3) = 0$

Langkah 11.9.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u - 3$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- u - 3) (u + 4) = 0$

Langkah 11.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Langkah 11.11

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.11.1

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Langkah 11.11.2

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $(- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.11.3

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.12

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.13

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.13.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{2} + 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.13.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.14

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 11.15

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} + 4) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Langkah 11.16

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.16.1

Tulis kembali $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.16.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.16.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{2} + 4) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Langkah 11.16.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x^{2} + 4) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Langkah 11.16.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 1$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Langkah 11.16.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Langkah 13

Atur $x^{2} + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x^{2} + 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $x^{2} + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 4$

Langkah 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 13.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 13.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 13.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 13.2.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 13.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 13.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 13.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 13.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 13.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 14

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 15

Atur $x^{2} + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $x^{2} + 3$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Langkah 15.2

Selesaikan $x^{2} + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 3$

Langkah 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Langkah 15.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.3.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Langkah 15.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Langkah 15.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Langkah 15.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{3}$

Langkah 15.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{3}$

Langkah 15.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 16

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ benar.

$x = 2 i, - 2 i, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 17