Prakalkulus Contoh

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.7

Kalikan $22$ dengan $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Langkah 4.1.8

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $4$ dengan $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $22$ .

$20 + 4 - 24$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $20$ dan $4$ .

$24 - 24$

Langkah 4.2.5

Kurangi $24$ dengan $24$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 5)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(20)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 20)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Langkah 6.11

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 24)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(24)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Langkah 6.12

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Langkah 6.13

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Langkah 6.14

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- 5 x$ dari $- 5 x^{3} + 20 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $- 5 x$ dari $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.2.2

Faktorkan $- 5 x$ dari $20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.2.3

Faktorkan $- 5 x$ dari $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ .

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.5

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Langkah 7.1.6

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Langkah 7.1.7

Faktorkan $u^{2} + 2 u - 24$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 24$ dan jumlahnya $2$ .

$- 4, 6$

Langkah 7.1.7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Langkah 7.1.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.9

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.10

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.11

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.1

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.11.2

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.12

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Langkah 7.1.13

Faktorkan $- 5 u + u^{2} + 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.13.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $6$ dan jumlahnya $- 5$ .

$- 3, - 2$

Langkah 7.1.13.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Langkah 7.1.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.14.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Langkah 7.1.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Langkah 7.1.15

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.15.1

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Langkah 7.1.15.2

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Langkah 7.1.15.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Langkah 7.1.15.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 7.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 7.4

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 7.4.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7.5

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ benar.

$x = - 2, 2, 3$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Langkah 10