Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 7$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$343 - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

Langkah 4.1.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$343 - 7 \cdot 49 + 9 (7) - 63$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $49$ .

$343 - 343 + 9 (7) - 63$

Langkah 4.1.4

Kalikan $9$ dengan $7$ .

$343 - 343 + 63 - 63$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $343$ dengan $343$ .

$0 + 63 - 63$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $63$ .

$63 - 63$

Langkah 4.2.3

Kurangi $63$ dengan $63$ .

$0$

Langkah 5

Karena $7$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 7$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63}{x - 7}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(7)$ dan tempatkan hasil $(7)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(7)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(9)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$	$9$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(9)$ dengan pembagi $(7)$ dan tempatkan hasil $(63)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 63)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + 0 x + 9$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} + 9$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 9$

Langkah 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Langkah 7.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Langkah 7.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (9)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Langkah 7.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 3$

Langkah 7.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 3 i$

Langkah 7.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3 i$

Langkah 7.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3 i$

Langkah 7.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3 i, - 3 i$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 7) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$ .

$x = 7, 3 i, - 3 i$

Langkah 10