Prakalkulus Contoh

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 2$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.2

Kalikan $5$ dengan $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 36$ dengan $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.6

Kalikan $62$ dengan $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.8

Kalikan $- 46$ dengan $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Langkah 4.1.9

Kalikan $57$ dengan $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $576$ dengan $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 416$ dan $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Langkah 4.2.3

Kurangi $184$ dengan $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 104$ dan $114$ .

$10 - 10$

Langkah 4.2.5

Kurangi $10$ dengan $10$ .

$0$

Langkah 5

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(5)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(10)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 26)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 52)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(10)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(20)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 26)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 52)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Langkah 6.11

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(10)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Langkah 6.12

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

Langkah 6.13

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

Langkah 6.14

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- 26 x$ dari $- 26 x^{3} - 26 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $- 26 x$ dari $- 26 x^{3}$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Langkah 7.1.2.2

Faktorkan $- 26 x$ dari $- 26 x$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Langkah 7.1.2.3

Faktorkan $- 26 x$ dari $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{4}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

Langkah 7.1.3.2

Faktorkan $5$ dari $10 x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

Langkah 7.1.3.3

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Langkah 7.1.3.4

Faktorkan $5$ dari $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Langkah 7.1.3.5

Faktorkan $5$ dari $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Langkah 7.1.4

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Langkah 7.1.5

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Langkah 7.1.6

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Langkah 7.1.6.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Langkah 7.1.6.3

Tulis kembali polinomialnya.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 7.1.6.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = u$ dan $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.1.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.1.8

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- 26 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.1.8.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

Langkah 7.1.8.3

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

Langkah 7.1.9

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

Langkah 7.1.10

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

Langkah 7.1.11

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Langkah 7.1.12

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.12.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.12.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 26$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.12.1.1.1

Faktorkan $- 26$ dari $- 26 x$ .

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Langkah 7.1.12.1.1.2

Tulis kembali $- 26$ sebagai $- 1$ ditambah $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

Langkah 7.1.12.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

Langkah 7.1.12.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.12.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

Langkah 7.1.12.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

Langkah 7.1.12.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

Langkah 7.1.12.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan $x^{2} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 7.3.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 7.3.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 7.3.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 7.4

Atur $5 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $5 x - 1$ sama dengan $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $5 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x = 1$

Langkah 7.4.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x = 1$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = 1$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 7.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Langkah 7.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Langkah 7.5

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ benar.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Langkah 10