Prakalkulus Contoh

$5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 5$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5, \pm 25$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$5 {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 5$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $5$ dengan ${(5)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Kalikan $5$ dengan ${(5)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $1$ .

$5^{1} {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Langkah 4.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5^{1 + 3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Langkah 4.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$5^{4} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Langkah 4.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$625 - 26 {(5)}^{2} + 25$

Langkah 4.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$625 - 26 \cdot 25 + 25$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 26$ dengan $25$ .

$625 - 650 + 25$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $650$ dengan $625$ .

$- 25 + 25$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 25$ dan $25$ .

$0$

Langkah 5

Karena $5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 5$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{5 x^{3} - 26 x^{2} + 25}{x - 5}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(5)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

	$5$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(25)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 26)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$	$- 1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(- 5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 5)$ dengan pembagi $(5)$ dan tempatkan hasil $(- 25)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(25)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$5 x^{2} + - 1 x - 5$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$5 x^{2} - x - 5$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 5$ , $b = - 1$ , dan $c = - 5$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 5)}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 20$ dengan $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.4.1.2.2

Kalikan $- 20$ dengan $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.4.1.3

Tambahkan $1$ dan $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Langkah 7.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.5.1.2.2

Kalikan $- 20$ dengan $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.5.1.3

Tambahkan $1$ dan $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Langkah 7.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 5) (x - \frac{1 + \sqrt{101}}{10}) (x - \frac{1 - \sqrt{101}}{10})$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$ .

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Bentuk Desimal:

$x = 5, 1.10498756 \dots, - 0.90498756 \dots$

Langkah 11