Prakalkulus Contoh

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $t = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

Langkah 4.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $9$ .

$81 - 108 + 27$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $108$ dengan $81$ .

$- 27 + 27$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 27$ dan $27$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $t - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(3)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(9)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 3)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 9)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 9)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 27)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

Langkah 9

Substitusikan $u = t^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

Langkah 10

Faktorkan $u^{2} - 12 u + 27$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $27$ dan jumlahnya $- 12$ .

$- 9, - 3$

Langkah 10.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Langkah 11

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Langkah 12

Atur $u - 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $u - 9$ sama dengan $0$ .

$u - 9 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 9$

Langkah 13

Atur $u - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $u - 3$ sama dengan $0$ .

$u - 3 = 0$

Langkah 13.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 3$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 9) (u - 3) = 0$ benar.

$u = 9, 3$

Langkah 15

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = t^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

Langkah 16

Selesaikan persamaan pertama untuk $t$ .

$t^{2} = 9$

Langkah 17

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

Langkah 17.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

Langkah 17.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$t = \pm 3$

Langkah 17.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = 3$

Langkah 17.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - 3$

Langkah 17.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = 3, - 3$

Langkah 18

Selesaikan persamaan kedua untuk $t$ .

${(t^{2})}^{1} = 3$

Langkah 19

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Hilangkan tanda kurung.

$t^{2} = 3$

Langkah 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

Langkah 19.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = \sqrt{3}$

Langkah 19.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - \sqrt{3}$

Langkah 19.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 20

Penyelesaian untuk $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ adalah $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 21

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Langkah 22