Prakalkulus Contoh

$x^{3} + 4 x - 5$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 5$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{3} + 4 (1) - 5$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 (1) - 5$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 - 5$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 - 5$

Langkah 4.2.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} + 4 x - 5}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$
	$1$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(4)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$5$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$	$5$
	$1$	$1$	$5$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$	$5$
	$1$	$1$	$5$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + 1 x + 5$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} + x + 5$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = 5$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $20$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $- 19$ sebagai $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (19)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.3

Kurangi $20$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.4

Tulis kembali $- 19$ sebagai $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (19)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Langkah 7.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{19})}{2}$

Langkah 7.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.3

Kurangi $20$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.4

Tulis kembali $- 19$ sebagai $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (19)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{19})}{2}$

Langkah 7.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{19})}{2}$

Langkah 7.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 1) (x + \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{19}}{2})$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{3} + 4 x - 5$ .

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Langkah 10