Prakalkulus Contoh

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$

Langkah 1

Faktorkan $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Langkah 1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$4 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$- 4 + 8 - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $- 4$ dan $8$ .

$4 - 11 \cdot - 1 - 15$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 11$ dengan $- 1$ .

$4 + 11 - 15$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $4$ dan $11$ .

$15 - 15$

Langkah 1.3.9

Kurangi $15$ dengan $15$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15}{x + 1}$

Langkah 1.5

Bagilah $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x$

$15$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{2} + 4 x$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 15 x - 15$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$4 x^{2} + 4 x - 15$

Langkah 1.6

Tulis $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 15)$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ dan yang jumlahnya adalah $b = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 15)$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $- 6$ ditambah $10$

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 + 10) x - 15)$

Langkah 2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15)$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) + 10 x - 15)$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3))$

Langkah 2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x + 5))$

Langkah 2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x + 5)$