Prakalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$

Langkah 1

Atur $2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$ sama dengan $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$2 x^{4} + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{4} + 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{4}$ .

$2 x (x^{3}) + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $2 x$ dari $16 x$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x^{3}) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{3} + 8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$2 x (x^{3} + 2^{3}) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.4

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.5.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Langkah 2.1.6

Faktorkan $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.6.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

Langkah 2.1.6.3

Substitusikan $- 2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1

Substitusikan $- 2$ ke dalam polinomialnya.

$- {(- 2)}^{3} - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Langkah 2.1.6.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- - 8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Langkah 2.1.6.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Langkah 2.1.6.3.4

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 - 42 \cdot 4 + 160$

Langkah 2.1.6.3.5

Kalikan $- 42$ dengan $4$ .

$8 - 168 + 160$

Langkah 2.1.6.3.6

Kurangi $168$ dengan $8$ .

$- 160 + 160$

Langkah 2.1.6.3.7

Tambahkan $- 160$ dan $160$ .

$0$

Langkah 2.1.6.4

Karena $- 2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- x^{3} - 42 x^{2} + 160}{x + 2}$

Langkah 2.1.6.5

Bagilah $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$42 x^{2}$

$0 x$

$160$

Langkah 2.1.6.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$

Langkah 2.1.6.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.6.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.6.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$

Langkah 2.1.6.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 2.1.6.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 40 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 2.1.6.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$40 x^{2}$	-	$80 x$

Langkah 2.1.6.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 40 x^{2} - 80 x$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$

Langkah 2.1.6.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$

Langkah 2.1.6.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Langkah 2.1.6.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $80 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Langkah 2.1.6.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							+	$80 x$	+	$160$

Langkah 2.1.6.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $80 x + 160$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$

Langkah 2.1.6.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$
										$0$

Langkah 2.1.6.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- x^{2} - 40 x + 80$

Langkah 2.1.6.6

Tulis $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ sebagai himpunan faktor.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.7

Faktorkan $x + 2$ dari $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Faktorkan $x + 2$ dari $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.7.2

Faktorkan $x + 2$ dari $(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4) - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.8

Terapkan sifat distributif.

$(x + 2) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 2) (2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.9.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1.1

Pindahkan $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.10.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.11

Kurangi $x^{2}$ dengan $- 4 x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 40 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.12

Kurangi $40 x$ dengan $8 x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.13

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1

Tulis kembali $2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 5 x^{2}) - 32 x + 80) = 0$

Langkah 2.1.13.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 5) - 16 (2 x - 5)) = 0$

Langkah 2.1.13.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 5$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 16)) = 0$

Langkah 2.1.13.1.3

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Langkah 2.1.13.1.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Langkah 2.1.13.1.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Langkah 2.1.13.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 5$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 2.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.6

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ benar.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Langkah 3