Prakalkulus Contoh

$p (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$

Langkah 1

Atur penyebut dalam $\frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} - 1 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} = 1$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} - 1 = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Langkah 2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.3.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Langkah 2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Langkah 2.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.6

Atur $x^{2} + x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x^{2} + x + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $x^{2} + x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 2.6.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 2.6.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 2.6.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 2.6.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.6.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ benar.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 1}$

Langkah 4

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

Langkah 5

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, 1) \cup (1, \infty), {x | x \neq 1}$

Daerah hasil: $[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty), {y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

Langkah 6