Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

Langkah 1

Atur penyebut dalam $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + x + 16 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = 16$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.3

Kurangi $64$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali $- 63$ sebagai $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (63)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.7

Tulis kembali $63$ sebagai $3^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.7.1

Faktorkan $9$ dari $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.7.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.3

Kurangi $64$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.4

Tulis kembali $- 63$ sebagai $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (63)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.7

Tulis kembali $63$ sebagai $3^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.7.1

Faktorkan $9$ dari $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.7.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.1.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Langkah 2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Langkah 2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.3

Kurangi $64$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.4

Tulis kembali $- 63$ sebagai $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (63)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.7

Tulis kembali $63$ sebagai $3^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.7.1

Faktorkan $9$ dari $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.7.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Langkah 2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Langkah 2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Langkah 5

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Daerah hasil: $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Langkah 6