Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} - 1 = 2 x$

Langkah 3.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{3} = 2 x + 1$

Langkah 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.3.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

Langkah 5.2.5

Perluas $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot 1$ dan $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.1.2

Kurangi $1 x$ dengan $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.1.3

Tambahkan $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.3.1.2

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

Langkah 5.2.6.3.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Langkah 5.2.6.3.2.2

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Langkah 5.2.7

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

Langkah 5.3.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ dan $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Langkah 5.3.3.3.2

Kalikan $\sqrt[3]{2 x + 1}$ dengan $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

Langkah 5.3.3.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$