Prakalkulus Contoh

$f (x) = 3^{x - 1} - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 3^{x - 1} - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 3^{y - 1} - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3^{y - 1} - 2 = x$ .

$3^{y - 1} - 2 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3^{y - 1} = x + 2$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.4

Perluas $\ln (3^{y - 1})$ dengan memindahkan $y - 1$ ke luar logaritma.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan $(y - 1) \ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.5.1.2

Tulis kembali $- 1 \ln (3)$ sebagai $- \ln (3)$ .

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.6

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Langkah 3.7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tambahkan $\ln (3)$ ke kedua sisi persamaan.

$y \ln (3) - \ln (x + 2) = \ln (3)$

Langkah 3.7.2

Tambahkan $\ln (x + 2)$ ke kedua sisi persamaan.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$

Langkah 3.8

Bagi setiap suku pada $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ dengan $\ln (3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Bagilah setiap suku di $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ dengan $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 3.8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 3.8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (3^{x - 1} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1} + 0)}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $3^{x - 1}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Perluas $\ln (3^{x - 1})$ dengan memindahkan $x - 1$ ke luar logaritma.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.4.2.2

Bagilah $x - 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + x - 1$

Langkah 5.2.5

Gabungkan suku balikan dalam $1 + x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x + 0$

Langkah 5.2.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$

Langkah 5.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan aturan beda bilangan pokok $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 2)} - 2$

Langkah 5.3.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 2 - 2$

Langkah 5.3.5

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Langkah 5.3.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$