Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 - y^{2}}$ sebagai ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$1 - y^{2} = x^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} = x^{2} - 1$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $- y^{2} = x^{2} - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} = x^{2} - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3.1.3

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 1$

Langkah 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

Langkah 3.4.4.1.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Langkah 3.4.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ dan $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[0, 1]$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Langkah 5.3.2.2

Atur $1 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Atur $1 + x$ sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 5.3.2.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5.3.2.3

Atur $1 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Atur $1 - x$ sama dengan $0$ .

$1 - x = 0$

Langkah 5.3.2.3.2

Selesaikan $1 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 5.3.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 5.3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 5.3.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 5.3.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 5.3.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.1.3

Sisi kiri $- 15$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.2.3

Sisi kiri $1$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.3.3

Sisi kiri $- 15$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

Langkah 5.3.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 1 \leq x \leq 1$

Langkah 5.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- 1, 1]$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , maka $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6