Prakalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.4

Sederhanakan.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x - 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - 3)}^{2}$ sebagai $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x - 3) (x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Kurangi $3 x$ dengan $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ dengan $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Langkah 3.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.3

Untuk menuliskan $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kalikan $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 5.2.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.3.6

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Langkah 5.2.5.4

Tambahkan $- 18$ dan $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Biarkan $u = \sqrt{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1.1

Kurangi $12 u$ dengan $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Langkah 5.2.6.1.2

Tambahkan $4 u^{2}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Langkah 5.2.6.1.3

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Langkah 5.2.6.1.4

Tambahkan $4 u^{2}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Langkah 5.2.6.3

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Langkah 5.2.6.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Langkah 5.2.6.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 5.2.6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 5.2.6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.2.6.3.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 5.2.7.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Langkah 5.3.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.5

Tulis kembali $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.6

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 5.3.4.1.7

Tulis kembali polinomialnya.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Langkah 5.3.4.1.8

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = \frac{x}{2}$ dan $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Langkah 5.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Langkah 5.3.4.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Langkah 5.3.4.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Langkah 5.3.4.5

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Langkah 5.3.4.6

Tulis kembali $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Langkah 5.3.4.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Langkah 5.3.4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Langkah 5.3.4.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Langkah 5.3.5

Gabungkan suku balikan dalam $x - 3 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Langkah 5.3.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$