Prakalkulus Contoh

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \ln (3 x) - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \ln (3 x) - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \ln (3 y) - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (3 y) = x + 2$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (3 y) = x + 2$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $3 y = e^{x + 2}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $3 y = e^{x + 2}$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ merupakan balikan dari $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Langkah 5.2.3.1.2

Tambahkan $\ln (3 x)$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Langkah 5.2.3.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Langkah 5.2.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Langkah 5.3.3.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x + 2$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Langkah 5.3.3.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Langkah 5.3.3.4

Kalikan $x + 2$ dengan $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ merupakan balikan dari $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$