Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan persamaannya dengan $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.3.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Langkah 3.3.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.3.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.3.1.2

Faktorkan $y^{2} + y - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 3.3.1.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ dengan $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Langkah 3.3.1.4

Faktorkan $y^{2} + y - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 3.3.1.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Langkah 3.3.1.5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Langkah 3.3.1.5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Langkah 3.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Langkah 3.3.1.5.2.2

Bagilah ${(y + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Langkah 3.3.1.5.3

Tulis kembali ${(y + 1)}^{2}$ sebagai $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Langkah 3.3.1.6

Perluas $(y + 1) (y + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Langkah 3.3.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Langkah 3.3.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Langkah 3.3.1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.7.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Langkah 3.3.1.7.1.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Langkah 3.3.1.7.1.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Langkah 3.3.1.7.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Langkah 3.3.1.7.2

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Langkah 3.4.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Langkah 3.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Langkah 3.4.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.4.4

Substitusikan nilai-nilai $a = x - 1$ , $b = x - 2$ , dan $c = - 2 x - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.3

Tulis kembali ${(x - 2)}^{2}$ sebagai $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.4

Perluas $(x - 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.4.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.4.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.5.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.5.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.5.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.6

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.7

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.8

Perluas $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.8.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.8.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.8.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.9.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.9.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.9.2

Kurangi $8 x$ dengan $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.10

Tambahkan $x^{2}$ dan $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.11

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.12

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.13

Tambahkan $9 x^{2} - 8 x$ dan $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.14

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.14.1

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.14.2

Faktorkan $x$ dari $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.5.14.3

Faktorkan $x$ dari $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.3

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.7

Tulis kembali $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ sebagai $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.3

Tulis kembali ${(x - 2)}^{2}$ sebagai $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.4

Perluas $(x - 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.5.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.5.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.5.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.6

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.7

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.8

Perluas $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.8.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.8.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.9.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.9.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.9.2

Kurangi $8 x$ dengan $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.10

Tambahkan $x^{2}$ dan $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.11

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.12

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.13

Tambahkan $9 x^{2} - 8 x$ dan $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.14

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1.14.1

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.14.2

Faktorkan $x$ dari $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.1.14.3

Faktorkan $x$ dari $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.2

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.4

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.8

Tulis kembali $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ sebagai $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 3.4.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ dan $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x (9 x - 8)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Langkah 5.3.2.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.3.2.3

Atur $9 x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Atur $9 x - 8$ sama dengan $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Langkah 5.3.2.3.2

Selesaikan $9 x - 8 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x = 8$

Langkah 5.3.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $9 x = 8$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x = 8$ dengan $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (9 x - 8) \geq 0$ benar.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 5.3.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.1.3

Sisi kiri $52$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.2

Uji nilai pada interval $0 < x < \frac{8}{9}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < \frac{8}{9}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.44$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0.44$ pada pertidaksamaan asal.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.2.3

Sisi kiri $- 1.7776$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > \frac{8}{9}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > \frac{8}{9}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.3.3

Sisi kiri $57$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Benar

$0 < x < \frac{8}{9}$ Salah

$x > \frac{8}{9}$ Benar

$x < 0$ Benar

$0 < x < \frac{8}{9}$ Salah

$x > \frac{8}{9}$ Benar

Langkah 5.3.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq 0$ atau $x \geq \frac{8}{9}$

Langkah 5.3.3

Atur penyebut dalam $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 (x - 1) = 0$

Langkah 5.3.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagi setiap suku pada $2 (x - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (x - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.3.4.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.3.4.1.2.1.2

Bagilah $x - 1$ dengan $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 5.3.4.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.3.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , maka $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6