Prakalkulus Contoh

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{3 y - 5})$ dengan memindahkan $3 y - 5$ ke luar logaritma.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $3 y - 5$ dengan $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Langkah 3.5

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $3 y = \ln (x + 2) + 5$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \ln (x + 2) + 5$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ merupakan balikan dari $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 5.2.3.1.2

Tambahkan $e^{3 x - 5}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $3 x - 5$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Langkah 5.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Langkah 5.2.4.3

Kalikan $3 x - 5$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $3 x - 5 + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.1

Tambahkan $- 5$ dan $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Langkah 5.2.5.1.2

Tambahkan $3 x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Langkah 5.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Langkah 5.2.5.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.2

Untuk menuliskan $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.3

Gabungkan $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1.1

Kalikan $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1.1.1

Susun kembali $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ dan $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.1.1.2

Sederhanakan $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.1.3

Sederhanakan.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Langkah 5.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Langkah 5.3.3.2.2

Tambahkan $\ln (x + 2)$ dan $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Langkah 5.3.3.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ merupakan balikan dari $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$